אינפי 1

lightbulb

שיטות גבולות

\frac{0}{0}

פירוק לגורמים / כפל בצמוד / לופיטל

1. פירוק לגורמים: צמצום הגורם המאפס.
2. כפל בצמוד: לשורשים.
3. לופיטל: אם גזיר, גבול מנת הנגזרות.
דוגמה:

lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

פתרון: פירוק לגורמים:

lim_{x \to 1} (x + 1)

.
תשובה: 2

\frac{\infty}{\infty}

הוצאת חזקה מובילה / לופיטל

בפולינומים מוציאים את החזקה הגבוהה ביותר. אחרת, לופיטל.
דוגמה:

lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{x + 1}

פתרון: הוצאת גורם משותף:

lim \frac{3}{1 + 1 / x}

.
תשובה: 3

\infty - \infty

מכנה משותף / כפל בצמוד

יש להפוך את הביטוי לשבר כדי לקבל צורה של מנה.
דוגמה:

lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^{2} + x} - x)

פתרון: כפל בצמוד:

\frac{x}{\sqrt{x^{2} + x} + x} \to 1 / 2

.
תשובה:

1 / 2

0 \cdot \infty

lim \frac{f}{1 / g}

עדיף להשאיר את הלוגריתם במונה ולהוריד חזקות.
דוגמה:

lim_{x \to 0^{+}} x \ln x

פתרון: מעבר לצורה

\frac{\ln x}{1 / x}

, לופיטל.
תשובה: 0

1^{\infty}

e^{lim g (x) (f (x) - 1)}

זהות אוילר המקוצרת לגבולות מהצורה הזו.
דוגמה:

lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^{x}

פתרון: לפי הכלל:

e^{lim x (\frac{2}{x})} = e^{2}

.
תשובה:

e^{2}

0^{0}, \infty^{0}

e^{lim g (x) \ln f (x)}

הופך את החזקה למכפלה.
דוגמה:

lim_{x \to 0^{+}} x^{x}

פתרון: מעבר ל-

e^{x \ln x}

, הגבול במעריך הוא 0.
תשובה: 1

משפט הסנדוויץ'

L \leq lim f (x) \leq L \Rightarrow lim f (x) = L

אם הפונקציה חסומה בין שתי פונקציות ששואפות לאותו גבול L, אז גם היא שואפת ל-L.
דוגמה:

lim_{x \to 0} x \sin (1 / x)

פתרון: חסימה:

- | x | \leq x \sin (1 / x) \leq | x |

.
תשובה: 0